חורף 2026 – שאלה 2 סעיף דאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

חורף 2026 – שאלה 2 סעיף ד

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף ד – דרך א: הוכחה באינדוקציה

3סעיף ד – דרך ב: נוסחת הסכום של סדרה הנדסית

📄 נוסח השאלה

a_n היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שסכומה מתכנס. המנה של הסדרה היא q. נסמן ב־T את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים בסדרה, ונסמן ב־R את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה. נתון: T²R² = 16.

א. מצאו את הערך של q.

נתונה סדרה b_n שאיבריה מקיימים b_n = 1 + qa_n · a_{n + 1} לכל n טבעי. נתון: b₁ = 1.

ב. מצאו את הערך של a₁.

ג. הביעו את b_n באמצעות n.

📄 נוסח השאלה · המשך

ד. הוכיחו באינדוקצייה או בכל דרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים:

b₁ + b₂ + … + b_n = 16ⁿ − 115

בשיעור הזה פותרים את סעיף ד. בסעיף ג מצאנו: b_n = 16^{n − 1} (הפתרון של סעיפים א–ג בקישור בסוף).

סעיף ד – דרך א: הוכחה באינדוקציה

b₁ + b₂ + … + b_n = 16ⁿ − 115

לפי סעיף ג b_n = 16^{n − 1}, ולכן צריך להוכיח:

1 + 16 + … + 16^{n − 1} = 16ⁿ − 115

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: b₁ = 16⁰ = 1. אגף ימין:

16 − 115 = 1515 = 1 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

b₁ + … + b_k = 16^k − 115

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף ד – דרך א: הוכחה באינדוקציה · המשך

b₁ + b₂ + … + b_n = 16ⁿ − 115

b₁ + … + b_k = 16^k − 115

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

האיבר האחרון בעבור n = k + 1: b_{k + 1} = 16^k.

b₁ + … + b_k + 16^k = 16^{k + 1} − 115

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= 16^k − 115 + 16^k

מכנה משותף 15:

= 16^k − 1 + 15 · 16^k15

📐 הנחת האינדוקציה

b₁ + … + b_k = 16^k − 115

סעיף ד – דרך א: הוכחה באינדוקציה · המשך

b₁ + b₂ + … + b_n = 16ⁿ − 115

= 16^k − 1 + 15 · 16^k15

= 16 · 16^k − 115

לפי חוקי חזקות 16 · 16^k = 16^{k + 1}:

📐 חוקי חזקות

= 16^{k + 1} − 115 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^{m + n}

סעיף ד – דרך ב: נוסחת הסכום של סדרה הנדסית

b₁ + b₂ + … + b_n = 16ⁿ − 115

b_n = 16^{n − 1} היא סדרה הנדסית: האיבר הראשון b₁ = 1 והמנה 16.

b₁ + … + b_n

📐 סכום סדרה הנדסית

= 1 · (16ⁿ − 1)16 − 1

= 16ⁿ − 115 ✓

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 סכום סדרה הנדסית

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא